2018年高考全国Ⅰ卷理科数学第21题的若干思考

黄顺进  福建省南安国光中学（362321）

黄耿跃  福建省厦门实验中学（361000）

一、试题呈现

二、初步分析

题目所给的函数是由反比函数、正比例函数、对数函数三个基本初等函数通过四则运算组合而成，给考生的感觉是题干简洁，看了就会想往下做，具有一定的亲和力．第一问讨论函数的单调性，中等生基本能拿到分数，第二问证明不等式，对考生的思维能力、运算能力等要求较高，且要懂得利用第（1）问的结论，敢于代入不等式的左边进行化简，才能顺利求证不等式．

三、第（Ⅱ）问错误解法的思考

四、试题第（Ⅱ）问多种解法的思考

解法三：利用函数的单调性

解法四：利用整体换元构造函数

五、试题题源的思考

笔者以为，不能因为找到了高考题的题源，就认为高考出这种题目水平太低了，而是要深入地去反思？为什么高考敢这样考？笔者认为，这种题目是经典题，它蕴含着很多数学的思想方法，是可以区分不同思维层次的考生，所以高考敢于用推陈出新命题手法命制试题，这应该引起一线教学的重视．

六、对函数与导数中双元问题的复习思考

17世纪，数学的发展突飞猛进，实现了从常量数学到变量数学的转折．变量数学又经历了单变量到多变量的发展变化．应该说中学阶段在研究变量问题时，更主要的还是以单变量问题为主．所以，这就给了我们求解双变量问题的启发，即：想方法设法把双元问题通过换元或其它方法，转化成单变量问题，才能进行问题求解．事实上，本文提供的四种方法的本质都是转化成构造单变量函数问题．

注：本文发表于《福建中学数学》2019年第1期