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关于几何体的外接球的解题策略
关于几何体的外接球的解题策略
南安国光中学 洪榕波
随着新一轮高考改革的来临，纵观近5年全国卷与各省市模拟卷的分析，在立体几何这一板块的客观题中，球的组合体的考查，尤其是多面体的外接球受到专家的青睐。
如果一个多面体的各个顶点都在同一球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。有关多面体的外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。研究多面体的外接球问题时，常常需要根据已知描述自行画出直观图或截面图，并能根据图形确定好外接球的球心。这样就很好地考查学生的空间想象能力，进而考查学生的抽象思维能力，对文字与图形的相互转化化归能力、运算能力等等。而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
（一）直接法（公式法）
1.（广东卷）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 。
【解析】球的内接正方体的对角线长等于球的直径，
2.(全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A.
【解析】由V=SH，得S=4，得正四棱柱底面边长为2。该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的体积
（二）确定球心位置法
1.（2016福建省质检理科）在三棱锥
A.
【解析】在两个直角三角形△APC,△ABC中，取AC的中点，连接OP,OA,AOB,OC，四边是斜边的一半，则O就是三棱锥
2. （海南宁夏卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
【解析】令球的半径为
（三）构造法（补形法）
1.（2016福建省质检文科）在空间直角坐标系O-xyz中，A(0,0,2)，B(0,2,0)，C(2,2,2)，则三棱锥 O-ABC外接球的表面积为（ ）
A.
【解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.
【解析】本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出
球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都
是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到
D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。
（四）寻求轴截面圆半径法
1.(15年新课标2理科) 已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=900,
C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的
表面积为（ ）
A．36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面
2.（2013全国文15）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，
AB⊥平面
面积为______。
【解析】如图，设球O的半径为R，
则AH＝
∵在Rt△OEH中，
最后，为了突破这一难点，还必须注意以下几方面：
1.熟悉几个经典模型的直观图与重要的结论。如：球的内接长方体的对角线长等于球的直径，球的内接正方体的对角线长等于球的直径，正方体的内切球等于正方体的棱长，球的内接正棱锥的高过球心，棱长为a的正四面体的外接球半径为
2.由于任何截面将球切个圆面，为了解题需要，将几何体的底面的所在截面的圆画出来。
3.找准球心在截面圆中的投影（即截面圆的圆心）。球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆所在的平面。这样可以用勾股定理算得线段长度。
4.巧用几何体的对称性与巧借依托体。我们常常将某些特殊的三棱锥或其他几何体置于长方体中（或补形成长方体），目的方便研究该几何体的外接球的有关问题。
