向量——“数形结合”的经典

          厦门三中 陈宝清   南安国光中学 陈志力

引述：向量是近代数学中引入的新概念之一，它既是代数研究对象，也是集合研究的对象，因此向量就必然地成了代数与几何链接的纽带，在教学中，把“数形结合”的方法，既可形思数，也可数化形，又可以两者有机结合地使用，充分展现形与数的美，让学生体会其化归的方法与实践的过程，提高学生分析、判断、解决问题的能力，在拓展与延伸中，向量可在奥数与自主招生中展现其神奇。

     苏霍姆林斯基：“人的内心深处有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”，而教师在课堂的作用，就是能适时地创设情境，使学生动起来，参与实践，体验过程，感受成功与失败的经历，不断加以归纳总结，逐步体会数学思想与方法的运用。本文就教学中体会做一小结如下：

一、         向量“加法”运算中体现“数化形”的结构美

案例一：计算 + ( 、 为非零向量)

     分析：问题虽简单却无从下手，学生刚学会向量的定义，还没有学运算。有2个疑问：1）与实数a+b一样吗？2） 与 共线？没有分类讨论。

     引导学生创设情景：取两根粉笔（学生用签字笔），笔尖方向表示向量方向，同学们动手操作演示。

     提问学生回答，电脑展示过程：

2） 与 共线同向：                      +     

3) 与 不共线：                              +

迁移：向量是矢量，在物理中与力、位移一样，引导学生利用已学的位移的概念，加深理解向量加法的几何性质：平行四边形法则（三角形法则），

即：      D           C                       北京

          +                            

     A       B          福州         上海

拓展与发散：求① + +

              ②

              ③ + + + +……+

总结出向量加法运算的实质：起点到终点（首尾相连法则），从而完美地体现了“数化形”的转化，激发学生的学习兴趣与思维的拓展。

相关链接：

设P、A、B、C是平面内四个不同的点，且 + +  = ，则  （  ）

   A：A、B、C三点共线    B：A、B、P三点共线   

   C：A、C、P三点共线     D：B、C、P三点共线

略解： = =      =2    选B

反思一：1）寻找分析问题的切入口：分类讨论思想

        2）加强动手操作的能力，理解“数化形”的方法

        3）与物理相关知识的联系，更加形象地体会向量加法运算的实质；加法的几何意义，分享发现者的乐趣

案例二：在 ABC中，AB=2，A= ，BC边上的中线AD = ，

        求sinB

(本题的解法有多种，这里介绍向量的方法)

分析：向量加法中： =           C

 (D为BC中点)，这个典型的模型                 D

 为问题的解决提供了一种精彩的方法 A                B

抓住本质，D是中点。

略解：在 ABC中 ,  D为BC中点，

=2  ,两边平方可得

                =6

     用余弦定理 =

     再用正弦定理 sinB =

反思二：1）用向量的加法运算桥接三角问题，这对学生思维发散，转化思想的形成有很大的帮助。三角问题还可以这样做，顿悟析怀，全身充满激情，对数学的学习与研究更有动力。“研究者”的深入，回味无穷。

        2）几何问题向量解，用几何法要建立模型

          常有： =2 ， = -  等

相关链接：在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=BD=2

          求AC的长。（用向量求解）     D                C

提示： = -                       1         2

      = +  ( = )    

                                   A       2       B

二、“形化数”在向量教学中的简洁美

     形化数就是建立适当的坐标系，把几何问题转化为代数问题，通过代数的运算解决问题。

案例三：（题目还是案例二），这里介绍向量的另一神奇，建立坐标系用代数方法给予解决。（关键：适当位置）

解：以AB为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，

则B(1， ) ，设C（x，0）

=    x=6

下同案例二的解法，求得sinB的值

反思三：“形化数”较为直接，目的是使学生有建系化归的思想，理解几何问题、三角问题等都可以通过适当的建立坐标系代数化，大胆地去探索与发展，不断地提升自己。

三、     与向量相关的问题中的“数形结合”。

“数形结合”是向量加、减法运算的核心，向量是矢量，又与坐标可一一对应，在解决相关的问题时，结合图形的几何特征，进行分析、判断、探索等，求解，是研究向量最重要的方法与技巧。

1、          客观题中的“数形结合”

案例四：如图，在直角坐标系中，AB // OC ，M在阴影内运动（不含边界），且 = x +y ,则：                    

① x （    ，    ）                            y

② 当x= 时，y (   ,   )

分析：1）应用“数形结合”的思想             M        B 

作图，用平行四边形法则与取极限的                                         

方法可得x （- ，0），                           O       A

    y  ( , ).

略解：在坐标系中取A(1，0)，B（0,1）               

      则C在y= - x的射线上

      = x +y =（x，y）              M         B

      而（x，y）恰好为M的坐标                  

       y  ( , ).                        O        A

反思四：客观题中“数形结合”与特殊化相结合，甚至取极限位置都可把一些较难的问题简单化，它带给学生一种大胆的创新思维方式，当问题解决后，那种胜利的心情不言而喻了。

相关链接：1、在 ABC中，A= ，AB=2，AC=1，D在BC上运动（不含端点），则 =________

2、若A、B为单位圆上两点，< , >= ,C在圆弧ＡＢ上变化，若 ＝ｘ ＋ｙ ，ｘ，y R,则x+y的最小值_________。

2、          在主观题上的“数形结合”

案例五：已知： =1，且它们相互间的夹角为 ，

求证：（ - ）  

分析：证明方法很多，本文主要介绍几何法。         y

   法一：“数形结合”构造单位圆，

内接正 ABC，利用几何性质证明；             B

类似地还可以构造正三角形、正六边形               O     A

法二：“形化数”建立坐标系

取A（1,0），B（- ， ），C（- ，- ）       C

令 = ， = ， = ，则 - =（0， ）

   （ - ） =0  （ - ）  

反思五：向量问题用几何法或坐标法都与“数形结合”紧密相关，是构图还是建系，因人而异，可以多种尝试，一题多解，拓展思维，直到方法的提炼与思维的形成，提高综合能力。

案例六：在 ABC中， = ， = ，AE与BD相交于P，设 = ， = ，试用 、 表示                    B

分析：本例相对较难，几何特征比较            E   P

不明显，又不好建系（没有长度），那

如何抓住问题的实质呢？向量中有一个  C      D             A

三点共线的充要条件，这是解决本体的

关键。

略解：设 =u +v ，

= - =（u -1） + v    

= - = -   且  A、P、E三点共线

存在实数t 使得

=t ，即（u -1） + v = t - t

      消去t   u+2v=1 ……①

同理：B、P、D三点共线   4u+v=1 ……②

联立①② 解得 u= ，v=  。

相关链接：在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，G为DE、BF的交点，若 = ， =

          试用 、 表示 、 、

反思六：对于较难的题目，要分析题目的几何特征，结合图形进行分析，才能找到切入口，三点共线的性质也是向量中常用的技巧。方程思想的提炼要注意体会。

四、     在奥数中的应用

例：设D是锐角三角形ABC内部一点，  ，并且，AC BD=AD BC，求  的值

分析：入手难，思考形化数，建系。

解：以C为坐标原点，CA为实轴，建立复平面，设  r,由复数乘法的几何意义可得：  =

=  

=  

=  

    =

  =  

相关链接：在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上一动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q，满足  ，则  的最小值_________。

总之：向量是数学中解决问题的一种工具，它与代数、几何紧密相关，解题时主要分析题干条件，要结合图形特征，要选用“数化形”、“形化数”、“数形结合”中哪一种方法？理清解题思路才能合理解决问题。在解题中不时地提炼思想与方法，不断地归纳与总结，提高学生对数学的兴趣。布鲁纳指出，掌握基本的数学思想与方法，能使数学更易于理解与记忆，领会思想与方法是通向迁移大道的光明之路。

参考文献：

1、缪林：平面向量与三角函数的综合，

中学数学教学参考2015（1-2）73—75

2、          曲文瑞、李学军：横看成岭侧成峰

                     中学数学教学参考2014（8）23—25

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