一道数学填空题引发对细节的思考

李菲燕

(福建省南安国光中学，福建省南安市梅山镇国光中学，362321)

摘要：数学是一门严谨的学科，教师的发展就是为了每一位学生的发展，但在是教学过程中，我们总是容易忽略一些细节，这其实会阻碍学生的发展，在教学中，时时刻记得注意细节是不容忽视的，只有缜密的教学语言才能使学生养成严密的思维方式。

关键字：细节，集合，区间，角度制，弧度制

某次考试后的集体改卷，备课组成员对于该考卷中的某道题目的处理产生了争议。

填空题13题

求函数 的单调递增区间

学生给出的答案有主要有两种写法：

（1） (闭区间也给分)

（2）

备课组老师有的认为（1）比较准确，有的则认为两者都可作为正确答案。

必修一在第1章第2节：函数及其表示中，通过集合的给出了区间的概念，所以区间是集合，是一个数集，但区间必须指的是一个连续的范围，所以区间并不等同于集合，或者说，并不等同于数集。在很多情况下，区间与数集具有相同的效果，可以相互转化表示某一个范围，如：

例1. ，

例2.函数 的定义域：即可以表示成 ，又可以表示成

　　例3.函数 即可以说在 递增，也可以说在 上是增函数。

    那么例1中的单调区间的两种表示方法是否都正确呢？

笔者认为，第一种表示方法指的是多个区间，当k取不同的整数的时候，表示不同的区间，如： 表示区间 ， 表示区间 表示区间 ，即k取遍所有整数时的各个区间，即它不等同于这些集合的并集。而第二种表示法方法指是多个区间的并集，即： 即k取遍所有整数时所得区间的并集。

再者，我们了解，对于函数的单调性，只能在定义域的某个区间上进行研究，不能将单调性相同的区间并起来，如函数 的单调区间，学生容易误写成是： ，而正确的写法为：函数的单调区间为 ，它指的是函数有两个单调递增区间。所以例1中的函数的单调区间应该是有无数多个，而不是取并集为一个区间。这个问题其实在必修四中正切函数的性质也有所体现：“正切函数在开区间 内都是增函数”,认真观察我们便会发现，对于单调区间，课本是有给出严谨的表示的，即三角函数中的单调区间基本都会用区间表示。

所以事实上，数集和区间并不能等同，数集和区间在其它地方也是有区别的。例如：对于离散的数集,可用集合{1,2,3,4}表示，但不能用区间表示若给定集合 ，当 时，此集合是个空集，而若给定区间 ，那么便有隐含条件 ，即此区间一定有意义，不为空集。

所以数集和区间并不能简单的等同，它们之间存在着区别，我们必须认清它们的区别并正确使用，例如：函数 的定义域正确表示则应该为 ,而不能表示成 定义域应为一个集合，而不能为多个集合。这个同样在必修四正切函数的定义域中有所体现。

总之，区间的概念是在集合的基础上给出的，在很多情况下，区间和集合可以相互转化，

其实在本题中，集合与区间的区别仅仅在于后面的 ,比如区间 与集合 还是可以互化的。

    数学是一门非常严谨的学科，作为一名数学教师，我们应该在教学中处处体现它的严谨性，这样学生才能在学习中逐步养成严密的思维方式，在教学中不能模棱两可，是就是，不是就不是，容不得半点纰漏，要注意各种细节的不同。高的数学教学过程中，其实还有很多细节需要我们注意，比如说此题学生所写答案除了本文开头两种，还有部分学生的答案为 及

对于这个答案，备课组老师们大多数认为，因为函数的定义域必须是数集，而单调区间是定义域的一个子集，所以也必须为数集，那么就必须得用弧度制来表示，所以这类答案肯定不正确。那么，事实真是如此吗？

必修一是在两个非空数集的基础上给出函数的概念，于是，在高中教学中，有很多老师在给学生介绍弧度制时都以为了使得研究三角函数时，能够使得角与实数集一一对应为理由，但真的是如此吗？事实上，我们知道，弧度制和角度制是度量角的两种不同的方式，而其实，无论是角度制还是弧度制，都能使得每个角都有唯一的实数与之对应，也就是说，无是有角度制还是弧度制，都能够建立三角函数，三角函数的定义域及单调区间也能用角度制来表示，所以笔者认为，第(4)种答案也是可以的。那么到底为什么有了角度制还要引入弧度制呢，我们知道角度制为六十进制，而弧度制是用长度单位来度量角，是一类十进制的实数，弧度制的定义巧妙的将长度单位和角度单位统一起来，这给我们研究三角函数带来很大的便利。而且在必修四给出三角函数的定式义时： 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，那么， 叫做 的正弦，即 ，这个时候， 的单位为长度单位，若此时，角 采用角度制，则它们的单位无法统一，而弧度制恰恰解决了这个问题。

当然，因为角度制是用角度量角，而弧度制是用长度度量角，这种方式学生理解起来会有些困难，在教学中，解释为什么引入弧度制的必要是十分重要的，对于弧度制的理解，必须贯穿于整个三角函数的学习当中，即教学学习中都要要尽量采用弧度制来以便学生习惯并掌握弧度制，角度制和孤度制是角的两同的度量方式，这与用千克，磅度量质量一样，是一种非常重要的认识，弧度制的引入最基本的作用体现在三角函数的认识上。

    老子曾说：”天下难事，必做于易；天下大事，必做于细”要做好一件事，必须从最简单最细微的地方入手，在科学领域中，细节是绝定成败的关键。数学的教学也是如此，教学过程中，一定要注重各种细节，即使是教学语言也要注重细节，养成养好用词习惯，这样学生才能吃透课本，深入理解每个概念，从而真正掌握各个知识点，学好数学。总之，教师的发展就是为了学生的发展，在教学中，对细节的不忽视，不敷衍，是对学生负责任一一种体现。

作者简介:姓名:李菲燕;出生年月:1983.6;性别:女;籍贯:南安;工作单位:福建南安国光中学,中学二级,学士学位.

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