一、   课程目标、意图

1.培养学生对数学的兴趣，激励学生学好数学的积极性，对学有余力的学生，充分发展他们的数学才能。同时为数学竞赛的选拔做准备。

2.通过对奥赛各种解题方法的探索、研究，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，重视培养学生的独立思考和自学的能力。使学生养成良好的思维习惯，提高应用数学的意识，感受数学各方面的价值。

3.了解奥赛解题的常用方法及其作用。掌握探索法在分析题目，解决问题中的应用。

二、        课程内容与活动安排

1. 导论（0.5课时）

2. 数学竞赛常用的6种解题方法之探索法

（1）探索常从熟悉的地方开始（0.5课时）

（2）探索常从简单的情形入手（0.5课时）

（3）探索常从考虑极端情形着手（0.5课时）

（4）探索常从不断减少目标着手（0.5课时）

（5）探索可从改变情形着手（0.5课时）

（6）探索可从变更问题着手（1课时）

（7）探索可从美学角度考虑（0.5课时）

（8）探索须充分利用已有信息（0.5课时）

（9）解题尝试与讲评（2课时）

3. 其他解题方法与解题思想的探究，交流（1课时）

三、        课程实施说明

组织形式：教师主讲，学生参与讨论

班级规模：50人左右

场地：  高二十五班教室

课时：  8课时

四、        考试评价说明

平时出勤，作业和课堂学习表现占70％ 。课程结束时完成一份一次开放性测试作业，考察学生应用所学知识与方法解决问题的能力，占最终成绩的30％。

第一讲 探索常从熟悉的地方开始

教学目标：

了解奥赛解题的常用方法。学会从熟悉的地方开始探索解题方法。

教学方式：教师主讲，学生参与讨论。

教学要点：

1. 导论

◇ 数学竞赛常用的6种解题方法

  （1）探索法；

（2）化归法；

（3）转换法；

（4）设想法；

（5）构造法；

（6）数学归纳法。

2. 探索法介绍

解数学题往往需要探索，解数学竞赛题更加需要探索。竞赛中的问题往往没有固定的套路可以依循，需要根据题设中的信息启动自己的头脑，运用智力自己去尝试、去找路就是进行探索，。探索法是求解数学竞赛题的重要方法之一。

3. 探索法（一）：探索常从熟悉的地方开始

例1．（2004年全国高中联赛题）设锐角 使关于x的方程 有两个相等实根，则 的弧度数为（   ）

A.      B.     C.      D.

分析：本题应从“关于x的二次方程有两个相等实根，则判别式为0”，这一熟悉的地方入手，再进行化简即得。

答案：B

例2．（2004年全国高中联赛题）

在平面直角坐标系xOy中，函数

在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 的图像所围成的封闭图形的面积是_______________.

分析：先运用辅助角公式，化为y＝ 熟悉的形式，再进一步探索。

答案：

作业布置：1.复习整理讲过内容；

2.预习下节课内容，尝试探索下节课例题。

第二讲  探索常从简单的情形入手及探索常从考虑极端情形着手

教学目标：学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式：教师主讲，学生参与讨论。

教学要点：

1.探索法（二）探索常从简单的情形入手

例3．（2004年全国联赛题）设函数 ，满足 ，且对任意x，y，都有 ，则 ＝________

分析：x，y分别取最简单的情形0或1，代入进行探索。

答案：. x+1

例4．（2004年全国女子数学奥林匹克题）设a、b、c为正实数，求：

的最小值。

分析：若分母为单项式，分式便很容易分离，情形会较简单，故三个分母用换元法分别令为x，y，z后进行探索。

答案：

2. 探索法（三）探索常从考虑极端情形着手

例5．（2003年全国高中联赛题）删去正整数数列1，2，3…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2003项是（   ）

A. 2046        B.2047     C.2048   D. 2049

分析：考虑平方接近2003的极端情况，即可推出删去了几项。

答案：C

例6．设至少有四项的数列 的前n项的和 ，试问这个数列 是一个什么数列？并说明理由。

分析：探究前几项的极端情况，猜测出规律，再用数学归纳法证明。

答案：从第二项起构成等差数列。

作业布置：1.复习整理讲过内容；

2.预习下节课内容，尝试探索下节课例题。

第三讲  探索常从不断减小目标差着手及探索可从改变形式着手

教学目标：

学会从不断减小目标差着手及从改变形式着手探索解题方法。

教学方式：教师主讲，学生参与讨论。

教学要点：

1．              探索法（四）探索常从不断减小目标差着手

例7．（2004年全国高中联赛题）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA＝4，C为PA的中点，当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长为（  ）

A.      B.    C.      D.

分析：选择最佳的底面与高，使得其中一个为定值，即可通过降维减小目标差。

答案：D

例8．（2003年北京市竞赛题）已知x，y是正实数，且满足xy＋x＋y＝71， ，则 _________________.

分析：转化为求xy与x+y，以此减小目标差。

答案：146或2993

2.     探索法（五）探索可从改变形式着手

例9．(2000年河北省竞赛题)设 ，则 的最小值为_________________.

分析：通过配方，知方程表示圆。法一：改变圆的方程的形式，化为参数方程，转化为三角函数来求解。法二：改变目标函数的形式，看成动点与定点连线斜率的倒数，再数形结合进行求解。

答案：

作业布置：1.复习整理讲过内容；

2.预习下节课内容，尝试探索下节课例题。

例10．由49＝ ，4489＝ ，444889＝ ，…，

能否有 ？

分析：改变等式左边的形式，通过不断变形，配成完全平方即可。

答案：能。

第四讲  探索可从变更问题着手

教学目标：学会从变更问题着手探索解题方法。

教学方式：教师主讲，学生参与讨论。

教学要点：

1.     探索法（六）探索可从变更问题着手

例11．(2004年全国高中联赛题改编)已知

。若对于所有 ，均有 ，则b的取值范围是________________

分析：先把“ ”变更为两集合表示的图形有公共点，再进一步把问题变更为集合N表示的直线过一定点，这个定点在圆内或圆上。

答案：

例12．（2004年湖南省竞赛题）一台计算机装置的示意图如图所示，

A,B表示数据入口，C是计算结果的出口。计算过程是由A,B

分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数k由C输出。若此种装置满足以下三个性质：

1、              A,B分别输入1，则输出结果1；

2、              若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大，则输出结果比原来增大2；

3、              若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍。

试问：

（1）若A输入1，B输入自然数n，则输出结果为多少？

（2）若B输入1，A输入自然数m，则输出结果为多少？

（3）若A输入自然数2002，B输入自然数9，则输出结果为多少？

分析：探索把A到C和B到C的输入输出规律，把应用问题变更为等差数列和等比数列的数学问题。

     本题难度较大，而且与课本知识结合紧密。所以给学生充分的时间思考，实践，交流。

答案：（1）2n-1;(2) (3)

作业布置：1.复习整理讲过内容；

2.预习下节课内容，尝试探索下节课例题。

第五讲  探索探索可从美学角度考虑及探索须充分利用已有信息

教学目标：学会从美学角度考虑及充分利用已有信息探索解题方法。

教学方式：教师主讲，学生参与讨论。

教学要点：

1.                   探索法（七）探索可从美学角度考虑

例13．(2004年全国联赛题)设点O在 ABC内部，且有 ,则 ABC的面积与 AOC的面积比为（  ）

A.2       B.        C.3       D.

分析：利用数学表达式中的“均衡美”，把向量OC的系数3拆成1和2，然后分别和前两个向量结合，即可提取系数。再运用加法的平行四边形法则，进一步探索。

答案：C

例14．（2003年北京市竞赛题）已知函数 ，记

， ，则 的值是_____

分析：利用“对称美”，探索 的和的关系，会有惊喜发现哦。

答案：2998.5

2.                   探索法（七）探索须充分利用已有信息

例15．(中国西部数学奥林匹克)设 为方程 的两个根，令 ，n＝1，2，…。证明：对任意正整数n，有 .

分析：充分利用已知信息“ 为方程 的两个根”。法一。把两根代入方程，法二：用韦达定理。之后再进一步探索。

答案：略。

3. 探索也可以尝试“跟着感觉走”

    学生讨论，发表感想。

作业布置：1.复习整理讲过内容；

2.预习下节课内容，尝试探索下节课例题。

第六讲  解题尝试

教学目标：

学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式：学生独立思考，应用所学方法完成习题。

教学要点：

解题尝试

A组

1．（山东省竞赛题）设等差数列的前四项的和为26，后四项的和为110，这个数列的所有各项的和为187，那么，这个数列的项数是（   ）

A.11    B.22         C.8      D.16

2．（湖南省竞赛题）若 ，则a的取值范围是（   ）

A.            B.

C.            D.

3．（安徽省竞赛题）一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，那么，这个三棱锥的体积大小（   ）

A.有唯一确定的值               B.有2个不同值

C.有三个不同值                 D.有三个以上不同值

4．（山东省竞赛题）已知 均为锐角， 。若设 ，则y与x的函数关系式为（   ）

A.   

B.

C.          

D.

5.（2007“南方杯”数学邀请赛）若k、a是实数，则关于x的不等式 的解集为空集的充分必要条件是(     ).

A．      B.     C.      D.

6．已知x、y、z为互不相等的实数，

且 ，求证：

7．（IMO国家集训队试题）实数x、y、z满足x＋y＝z－1， ，问 的最大值是什么？在z为何值时 取最大值？

8．（安徽省竞赛题）设 ，函数 。

（1）若 ，求证： ；

（2）求使函数 有最大值 的a的值。

9.（2003年北京市竞赛题）记min{a,b,c}为a,,b,c中的最小值，若x，y是任意正数， M= ，求M的最大值

10．（第28届俄罗斯数学奥林匹克题）

设a，b，c为正数，有a＋b＋c＝3，证明

作业布置：1.继续完成“解题尝试”；

2.总结解题方法。

第七讲  交流“解题尝试”

教学目标：学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式：学生交流，教师讲解总结。

教学要点：

1. 核对答案

（参考答案：1.A; 2.D; 3.C; 4.B; 5.D; 6.略；7.z=5最大值62；

8.（2）-2； 9. ；10.略）

2. 学生交流讨论，各抒己见

3. 教师补充总结

作业布置：1.订正并整理“解题尝试”；

2.试着总结其他解题方法与解题思想。

第八讲  其他解题方法与解题思想的探究，交流.

教学目标：探究，交流其他解题方法与解题思想。布置考核作业

教学方式：学生参与讨论，教师布置考核作业

教学要点：

1. 学生探究，交流其他解题方法与解题思想。

2. 教师小结。

在数学奥赛中，解题方法不拘一格。题目往往不容易入手，也就是我们常说的“没思路”。这时就需要我们积极主动地对题目进行分析。比较常用的方法有探索法、化归法、转换法、设想法、构造法、数学归纳法、数形结合法等。

3. 布置考核作业。

编制或从书籍中选择1～2个题目，结合上课内容，分析其探索方法，写出详细解题过程，并对解题方法加以总结。

必须写清楚班级、姓名、号数。