一道高考试题的解析、拓展与感悟

黄明通   （福建省泉州市南安国光中学）邮编：362321

一轮复习备课中，笔者对2012年高考数学福建理科地19题进行了深入的分析研究，有了一点心得体会。本文将对问题的解题分析、探究拓展、感悟等环节展现出来，供同仁参考。

1 原题呈现

（2012理高考数学福建理科第19题）如图，椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 。过 的直线交椭圆于 两点，且 的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆 的方程。

（Ⅱ）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由。

2 解法呈现：（Ⅰ）因为 ,即  

而 ,所以 ,而  

（Ⅱ）解法一： （等式的恒成立）

（2） 消去y ．

因为动直线 与椭圆E有且只有一个公共点 ，所以 ，

，化简 （*）

， 。

。

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。

， 对满足（*）式的m,k 恒成立。

因为 ， ，由 ，

，整理， （**）

由于（**）式对满足（*）式的m,k恒成立， 。

故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。

解法二：（特殊到一般）（Ⅱ） 消去y ．

因为动直线 与椭圆E有且只有一个公共点 ，所以 ，

，化简 （*）

， 。

。

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。

  , ，以PQ为直径的圆的方程为

；

  , ，以PQ为直径的圆方程为

。

所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）。

以下证明M（1，0）就是满足条件的点。

因为M的坐标为（1，0），所以 ， ，

从而 ，故恒有 ,

即存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。

解法三：（解方程的思想）

（Ⅱ） 消去y ．

因为动直线 与椭圆E有且只有一个公共点 ，所以 ，

，化简 （*）

， 。

。

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。

， 对满足（*）式的m,k 恒成立。

因为 ， ，由 ，

，整理， （**）

解得 则点M的坐标为（1，0）。

以下证明M（1，0）就是满足条件的点。

因为M的坐标为（1，0），所以 ， ，

从而 ，故恒有 ,

即存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。

解法四：（利用圆的直径式方程）

由解法一得到

由圆的直径式方程得以PQ为直径的圆的方程：

在圆上得到

整理得：

以下同解法三。

解法五：（利用切线方程）

设 ，以该两点为切点的椭圆切线分别为 ，

又 在该两条切线上，所以 ---①， ---②，

即 都在直线 上，而直线 过定点 ，即直线 过定点 。

由②-①，得 ，此时 ， ，

故 ，即 ，故存在定点 满足题意。

3 命题立意

本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想. 试题没有直接要求考生证明 ，而以开放题型出现，要求考生探究定点的存在性。在解决问题的过程中，不仅要求考生熟练地运用代数方法研究椭圆的几何性质，还要求考生利用椭圆的对称性，对定点的位置进行预设，在考查考生运算能力的同时，突出考查了考生的探究能力，对考生的转化与化归能力也提出了更高的要求，试题充分彰显了新课程的新理念。

4 试题的背景及推广

背景：过椭圆 =1 (a>b>0) 焦半径FP的端点P作椭圆的切线，交相应准线于点Q，则∠PFQ=90⁰。

证明：如图，焦点F(c,0)，设P(x₀, y₀)，则切线PQ的方程为： =1，与准线方程x= 联立，得交点Q的纵坐标为y= ，则 =(x₀－c,y₀)， =( )

∵ · = ∴ ⊥ 即∠PFQ=90⁰

对于双曲线，抛物线有类似的性质：

推论1：过双曲线 =1 (a>0, b>0) 焦半径FP的端点P作双曲线的切线，交相应准线于点Q，则∠PFQ=90⁰

推论2：过抛物线 焦半径FP的端点P作双曲线的切线，交相应准线于点Q，则∠PFQ=90⁰。

5 进一步拓展

1、结论一般化：已知椭圆E的一个焦点F及相应准线 , 动直线 与椭圆 相切于点P，且与准线 交于点Q，则以PQ为直径的圆恒过焦点F。

2、  P点位置特殊化：如图， 轴， ，直线

交右准线于点 ，点 为左准线与 轴交点，则 、

三点共线。

3、  焦点、准线位置一般化：如图 ， ，

椭圆 ， 轴，直线

交直线 于点 ，直线 、 的斜率分别为 、 ，

则直线 是椭圆的切线 。

4、  改变问题：已知椭圆E： 的一个焦点F

及相应准线 ,过 上任意一点 引椭圆的两条切线 、

，切点分别为 、 ，则 。

6 解题感悟

6.1注重培养学生的转化能力

数学解题的核心就是“转化”，将问题转化为我们熟悉的问题，使得抽象问题具体化，会大大提高解题的效率。定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找或转化成不受参数影响的量．

6.2精选例题、习题

美国著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的老师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引人一个完整的理论领域，”在课堂教学中，以高考试题为载体，可以有效提高课堂教学效率。通过对典型题目进行一题多解、一题多变、拓展延伸的训练，既能促使学生加强知识点间的联系，从中学到“转化策略、数形结合”等基本的数学思想，又可以达到培养学生思维能力的目的，从而提高教学的有效性。

7 结束语

目前，我们都有一个共识，那就是减轻学生数学学习的负担，对于这点，笔者认为，只有教师跳入“题海”，进行大量的对题的思维价值、方法价值、教学价值的研究、思考和总结，才能够发现题目的真正作用，才能够收到“通过有限道题的解题教学，让学生领悟那种许多道题甚至是无限道题也未必能生成的数学机智”的效果，也才能让学生真正地跳出题海，提高数学能力而学会数学，并且会学数学。

参考文献：

【1】           曲文瑞  李学军 , 对一道平面向量试题的多视角探究及拓展[J], 中学数学教学参考，上旬，2014.8.

【2】           张彬 ， 一道高考题探究的心路历程[J]，中学数学教学参考，上旬2013.8.