代特殊点解决三角函数的变换问题

国光中学   王东克

现在，我们学校高中数学教材用的是2004年通过的人教A版，在第一章1.5节中，主要介绍了三角函数图象的变换，这里，我想换种方法来理解函数的平移变换。

在图象的平移变换中，有两个地方是需要同学们特别注意的，一是往左平移还是往右平移？二是移动多少个单位长度？

课本中，编者是通过画图象得到y=sinx与y=sin（x+ ）之间的平移关系的，50页第一段得到小结论：“y=sin（x+ ）的图象，可以看作是把正弦函数y=sinx上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到。”从而进一步得到一般性的结论：“y=sin（x+ ）（其中 0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时）或向右（当 <0时）平行移动 个单位长度而得到。”

同学们对这段话的理解似是而非，他们更是记住了初中的口诀“左加右减”，看到“+”号就认为是往左平移，看到“-”号就认为是往右平移，移动的是 个单位长度。但是，这样的理解真的对吗？比如，（1）如何由y=sin（-x）图象通过平移得到y=sin（-x+ ）的图象？（2）如何由y=sin2x图象通过平移得到y=sin（2x+ ）的图象呢？这两个小题，同学们很多都会认为是向左平移 个单位长度。

其实，同学的理解出错主要是因为没有抓住函数的本质，我们知道，“变换是相对x而言的”，指的是x的变换情况，（1）中y=sin（-x+ ）应该是化为y=sin[-（x- ）]，以x- 代替y=sin（-x）的x，所以是向右平移 个单位长度；（2）中y=sin（2x+ ）应该是化为y=sin[2（x+ ）]，以x+ 代替y=sin2x的x，所以是向左平移 个单位长度。

为了使同学们图象平移不出差错，在上课的过程中，我花了一节课，讲解用代特殊点来解决函数图象的平移。由于图像上各点的变换是一样的，因此，我们只要看其中一点怎么进行平移变换其实就够了。平移变换中，为了让y的值不变，我们可以让三角函数对应的角相同，这样，就可以得到变换的方法。为了更好的进行区分，我把变换前的x写成 ，变换后的x写成 以示区分。

我们通过几个例子来更好的感受一下。

例1. 把y=sin 的图象通过平移变换成y=sin（ + ）的图象。

解：令 =0，则 + = =0，解得 =- ，发现数轴上的点从0移动到- ，往左平移了 个单位长度，所以把y=sin 的图象上各点往左平移 个单位长度，得到y=sin（ + ）的图象。

这种方法中，与 的取值无关，比如，令 = ，则 + = = ，解得 =- ， - =（- ）- =- ，；令 =-1，则 + = =-1，解得 =-1- ， - =（-1- ）-（-1）=- ，都是往左平移了 个单位长度。

虽然与 的起始取值无关，但是，为了更直观观察出往哪个方向移动，移动多少个单位长度，令 =0，从而解出 ，是最直观的。

这种方法不局限于从y=sinx的图象平移成y=sin（x+ ）的图象，还是刚才的两个例子。

例2.把 y=sin（- ）图象通过平移得到y=sin（- + ）的图象。

解：令 =0，则- + = =0，解得 = ，所以把y=sin（- ）的图象上各点往右平移 个单位长度，得到y=sin（- + ）的图象。

例3. 把y=sin2 图象通过平移得到y=sin（2 + ）的图象。

解：令 =0，则2 + =2 =0，解得 =- ，所以把y=sin2 的图象上各点往左平移 个单位长度，得到y=sin（2 + ）的图象。

我们再来看看更复杂一点的。

例4. 把y=sin（2 + ）图象通过平移得到y=sin（2 + ）的图象。

解：令 =0，则2 + =2 + = ，解得 =- ，所以把y=sin（2 + ）的图象上各点往左平移 个单位长度，得到y=sin（2 + ）的图象。

本道题，利用x的替换也是可以的，我们把2 + 整理成与2 + 相同的形式，可得，2 + =2（ + ）+ ，从而发现了是以 + 代替原来的 ，所以是把y=sin（2 + ）的图象上各点往左平移 个单位长度。这种方法，仍然可以让问题得以解决，但是，显然要麻烦不少，因为，2 + =2（ + ）+ 并不容易构造。

反之，利用代特殊点，也可以用来求解变换后的函数表达式。

例5.把y=sin（2 + ）的图象向右平移 个单位长度，求变换后的函数表达式。

分析：在本题的解题过程中，同学非常容易产生的一个错误，就是利用口诀“左加右减”，把变换后的表达式记为y= sin（2 - + ）=sin（2 - ），而实际上，变换后的表达式应该记为y= sin[2（ - ）+ ]=sin（2 - ），为了避免该种错误，我们仍然可以通过代特殊点来处理。

我们知道，平移的过程中， 的值是不发生改变的，改变的只是 的值。因此，我们可以假设变换后的角记为 x+ ，从而解出 ，使问题得以解决。

解：令 =0，由于图象向右平移 个单位长度，则 = ，由2 + =2 + ，则2 + = ，解得 =- ，所以变换后的函数表达式为y= sin（2 - ）。

通过以上几个例题，大家可以发现，代特殊点可以用来很好的解决函数图象平移的问题，这样，可以很好的避免学生因为不理解，生搬硬套而导致的错误，可以让同学们结合自己平时的练习来加深理解一下。我觉得，同学们如果真的很好的掌握这一种方法，那么，平移这一模块将不再是同学们学习路上的一块“绊脚石”，而是能成为同学们在考试中的得分点。

高中数学课本中，有些地方显得比较深奥，同学们学起来感觉比较辛苦，作为一名坚持在一线工作的我们，有时候，我们就不能照本宣科，而是应“另辟蹊径”，从其他方面来帮助同学们进行理解和学习，这样，课堂会更灵活，同学们学习兴趣高了，学习才会更加轻松。